matplotlib¶
Есть несколько пакетов для построения графиков. Один из наиболее популярных - matplotlib. Если в jupyter notebook выполнить специальную ipython команду %matplotlib inline, то графики будут строиться в том же окне браузера. Есть другие варианты, в которых графики показываются в отдельных окнах. Это удобно для трёхмерных графиков - тогда их можно вертеть мышкой (в случае inline графиков это невозможно). Графики можно также сохранять в файлы, как в векторных форматах (eps, pdf, svg), так и в растровых (png, jpg; конечно, растровые форматы годятся только для размещения графиков на web-страницах). matplotlib позволяет строить двумерные графики практически всех нужных типов, с достаточно гибкой регулировкой их параметров; он также поддерживает основные типы трёхмерных графиков, но для серьёзной трёхмерной визуализации данных лучше пользоваться более мощными специализированными системами.
from matplotlib.pyplot import (axes,axis,title,legend,figure,
xlabel,ylabel,xticks,yticks,
xscale,yscale,text,grid,
plot,scatter,errorbar,hist,polar,
contour,contourf,colorbar,clabel,
imshow)
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from numpy import (linspace,logspace,zeros,ones,outer,meshgrid,
pi,sin,cos,sqrt,exp)
from numpy.random import normal
%matplotlib inline
Список $y$ координат; $x$ координаты образуют последовательность 0, 1, 2, ...
plot([0,1,0.5])
Списки $x$ и $y$ координат точек. Точки соединяются прямыми, т.е. строится ломаная линия.
plot([0,0.25,1],[0,1,0.5])
scatter просто рисует точки, не соединяя из линиями.
scatter([0,0.25,1],[0,1,0.5])
$x$ координаты не обязаны монотонно возрастать. Тут, например, мы строим замкнутый многоугольник.
plot([0,0.25,1,0],[0,1,0.5,0])
Когда точек много, ломаная неотличима от гладкой кривой.
x=linspace(0,4*pi,100)
plot(x,sin(x))
Массив $x$ не обязан быть монотонно возрастающим. Можно строить любую параметрическую линию $x=x(t)$, $y=y(t)$.
t=linspace(0,2*pi,100)
plot(cos(t),sin(t))
axes().set_aspect(1)
Чтобы окружности выглядели как окружности, а не как эллипсы, (а квадраты как квадраты, а не как прямоугольники), нужно установить aspect ratio, равный 1.
А вот одна из фигур Лиссажу, которые все мы любили смотреть на осциллографе.
plot(sin(2*t),cos(3*t))
axes().set_aspect(1)
Несколько кривых на одном графике. Каждая задаётся парой массивов - $x$ и $y$ координаты. По умолчанию, им присваиваются цвета из некоторой последовательности цветов; разумеется, их можно изменить.
x=linspace(0,2,100)
plot(x,x,x,x**2,x,x**3)
Для простой регулировки цветов и типов линий после пары $x$ и $y$ координат вставляется форматная строка. Первая буква определяет цвет ('r' - красный, 'b' - синий и т.д.), дальше задаётся тип линии ('-' - сплошная, '--' - пунктирная, '-.' - штрих-пунктирная и т.д.).
x=linspace(0,4*pi,100)
plot(x,sin(x),'r-',x,cos(x),'b--')
Если в качестве "типа линии" указано 'o', то это означает рисовать точки кружочками и не соединять их линиями; аналогично, 's' означает квадратики. Конечно, такие графики имеют смысл только тогда, когда точек не очень много.
x=linspace(0,1,11)
plot(x,x**2,'ro',x,1-x,'gs')
Вот пример настройки почти всего, что можно настроить. Можно задать последовательность засечек на оси $x$ (и $y$) и подписи к ним (в них, как и в других текстах, можно использовать $\LaTeX$-овские обозначения). Задать подписи осей $x$ и $y$ и заголовок графика. Во всех текстовых элементах можно задать размер шрифта. Можно задать толщину линий и штрихи (так, на графике косинуса рисуется штрих длины 8, потом участок длины 4 не рисуется, потом участок длины 2 рисуется, потом участок длины 4 опять не рисуется, и так по циклу; поскольку толщина линии равна 2, эти короткие штрихи длины 2 фактически выглядят как точки). Можно задать подписи к кривым (legend); где разместить эти подписи тоже можно регулировать.
axis([0,2*pi,-1,1])
xticks(linspace(0,2*pi,9),
('0',r'$\frac{1}{4}\pi$',r'$\frac{1}{2}\pi$',
r'$\frac{3}{4}\pi$',r'$\pi$',r'$\frac{5}{4}\pi$',
r'$\frac{3}{2}\pi$',r'$\frac{7}{4}\pi$',r'$2\pi$'),
fontsize=20)
xlabel(r'$x$')
ylabel(r'$y$')
title(r'$\sin x$, $\cos x$',fontsize=20)
x=linspace(0,2*pi,100)
plot(x,sin(x),linewidth=2,color='b',dashes=[8,4],
label=r'$\sin x$')
plot(x,cos(x),linewidth=2,color='r',dashes=[8,4,2,4],
label=r'$\cos x$')
legend(fontsize=20)
Если linestyle='', то точки не соединяются линиями. Сами точки рисуются маркерами разных типов. Тип определяется строкой из одного символа, который чем-то похож на нужный маркер. В добавок к стандартным маркерам, можно определить самодельные.
x=linspace(0,1,11)
axis([-0.05,1.05,-0.05,1.05])
axes().set_aspect(1)
plot(x,x,linestyle='',marker='<',markersize=10,
markerfacecolor='#FF0000')
plot(x,x**2,linestyle='',marker='^',markersize=10,
markerfacecolor='#00FF00')
plot(x,x**(1/2),linestyle='',marker='v',markersize=10,
markerfacecolor='#0000FF')
plot(x,1-x,linestyle='',marker='+',markersize=10,
markerfacecolor='#0F0F00')
plot(x,1-x**2,linestyle='',marker='x',markersize=10,
markerfacecolor='#0F000F')
Логарифмический масштаб¶
Если $y$ меняется на много порядков, то удобно использовать логарифмический масштаб по $y$.
x=linspace(-5,5,100)
yscale('log')
plot(x,exp(x)+exp(-x))
Можно задать логарифмический масштаб по обоим осям.
x=logspace(-2,2,100)
xscale('log')
yscale('log')
plot(x,x+x**3)
Полярные координаты¶
Первый массив - $\varphi$, второй - $r$. Вот спираль.
t=linspace(0,4*pi,100)
polar(t,t)
А это угловое распределение пионов в $e^+ e^-$ аннигиляции.
phi=linspace(0,2*pi,100)
polar(phi,sin(phi)**2)
Экпериментальные данные¶
Допустим, имеется теоретическая кривая (резонанс без фона).
xt=linspace(-4,4,101)
yt=1/(xt**2+1)
Поскольку реальных экспериментальных данных под рукой нет, мы их сгенерируем. Пусть они согласуются с теорией, и все статистические ошибки равны 0.1.
xe=linspace(-3,3,21)
yerr=0.1*ones(21)
ye=1/(xe**2+1)+yerr*normal(size=21)
Экспериментальные точки с усами и теоретическая кривая на одном графике.
plot(xt,yt)
errorbar(xe,ye,fmt='ro',yerr=yerr)
Гистограмма¶
Сгенерируем $N$ случайных чисел с нормальным (гауссовым) распределением (среднее 0, среднеквадратичное отклонение 1), и раскидаем их по 20 бинам от $-3$ до $3$ (точки за пределами этого интервала отбрасываются). Для сравнения, вместе с гистограммой нарисуем Гауссову кривую в том же масштабе. И даже напишем формулу Гаусса.
N=10000
r=normal(size=N)
n,bins,patches=hist(r,range=(-3,3),bins=20)
x=linspace(-3,3,100)
plot(x,N/sqrt(2*pi)*0.3*exp(-0.5*x**2),'r')
text(-2,1000,r'$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$',
fontsize=20,horizontalalignment='center',
verticalalignment='center')
Контурные графики¶
Пусть мы хотим изучить поверхность $z=xy$. Вот её горизонтали.
x=linspace(-1,1,50)
y=x
z=outer(x,y)
contour(x,y,z)
axes().set_aspect(1)
Что-то их маловато. Сделаем побольше и подпишем.
title(r'$z=xy$',fontsize=20)
curves=contour(x,y,z,linspace(-1,1,11))
clabel(curves)
axes().set_aspect(1)
А здесь высота даётся цветом, как на физических географических картах. colorbar показывает соответствие цветов и значений $z$.
contourf(x,y,z,linspace(-1,1,11))
colorbar()
axes().set_aspect(1)
Images (пиксельные картинки)¶
Картинка задаётся массивом z: z[i,j] - это цвет пикселя i,j, массив из 3 элементов (rgb, числа от 0 до 1).
n=256
u=linspace(0,1,n)
x,y=meshgrid(u,u)
z=zeros((n,n,3))
z[:,:,0]=x
z[:,:,2]=y
imshow(z)
Трёхмерная линия¶
Задаётся параметрически: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$.
t=linspace(0,4*pi,100)
x=cos(t)
y=sin(t)
z=t/(4*pi)
Тут нужен объект класса Axes3D из пакета mpl_toolkits.mplot3d. figure() - это текущий рисунок, создаём в нём объект ax, потом используем его методы.
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.plot(x,y,z)
К сожалению, inline трёхмерную картинку нельзя вертеть мышкой (это можно делать с трёхмерными картинками в отдельных окнах). Но можно задать, с какой стороны мы смотрим.
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.elev,ax.azim=30,30
ax.plot(x,y,z)
Поверхности¶
Все поверхности параметрические: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$. Если мы хотим построить явную поверхность $z=z(x,y)$, то удобно создать массивы $x=u$ и $y=v$ функцией meshgrid.
X=10
N=50
u=linspace(-X,X,N)
x,y=meshgrid(u,u)
r=sqrt(x**2+y**2)
z=sin(r)/r
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=1,cstride=1)
Есть много встроенных способов раскраски поверхностей. Так, в методе gnuplot цвет зависит от высоты $z$.
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=1,cstride=1,cmap='gnuplot')
Построим бублик - параметрическую поверхность с параметрами $\vartheta$, $\varphi$.
t=linspace(0,2*pi,50)
th,ph=meshgrid(t,t)
r=0.4
x,y,z=(1+r*cos(ph))*cos(th),(1+r*cos(ph))*sin(th),r*sin(ph)
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.elev=60
ax.set_aspect(r/(1+r))
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=1)
